Revisão - Análise Combinatória

 A Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda os problemas de contagem. Ela surgiu da necessidade de se calcular o número de possibilidades que podem ocorrer numa certa experiência, sem precisar descrever cada uma dessas possibilidades.

Alguns problemas bem simples podem ser resolvidos enumerando-se todas as possibilidades. Quando descrevemos todas as possibilidades de uma experiência ou evento, fazemos uma contagem direta.

No dia-a-dia, estamos acostumados a fazer contagens diretas como, por exemplo, quantos dias faltam para o início de nossas férias, de quantas maneiras diferentes podemos combinar 3 blusas com 2 calças diferentes, quantos são os resultados possíveis ao lançar uma moeda duas vezes seguidas, etc.

Princípio Fundamental da Contagem (PFC)

Nos casos em que as alternativas de escolha forem muitas, o diagrama de árvore é pouco prático. Para essas situações, usamos o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, que é um método algébrico para determinar o número total de possibilidades.

Este método consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do experimento. Para entendermos melhor, observe o infográfico abaixo:

Tipos de agrupamentos

Arranjo simples

Num conjunto A com n elementos, são arranjos simples todos os agrupamentos ordenados formados por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos distintos dados, com p menor ou igual a n.

An,p=n!(n−p)!

Arranjo com repetição

Chama-se arranjo com repetição ou arranjo completo, todo agrupamento de p elementos de um conjunto dado, com n elementos diferentes, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo, porém, ter elementos repetidos.

ARn,p=np

Permutação simples

A permutação é um arranjo de ordem máxima, ou seja, faz uso de todos os elementos do conjunto (n=p).

Pn=p!

Permutação com repetição

Assim como na permutação simples, a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, as repetições são permitidas. Podemos estabelecer, entre o número de elementos n e as vezes que um mesmo elemento aparece, na fórmula.

Combinação simples

Chama-se combinação simples todo subconjunto formado por p elementos distintos de um conjunto de n elementos distintos dados. Neste tipo de agrupamento a ordem dos elementos não importa.

Cn,p=n!((n−p)!)⋅p!